Analysis 1 by Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Dieses Lehrbuch umfaßt knapp und präzise den kanonischen Stoff der Analysiskurse des ersten Semesters.Darüber hinaus behandelt es einfache Differentialgleichungen und Fourierreihen. Eingeflochten sind auch einige Perlen der klassischen research. Sachbezogene Motivationen, zahlreiche Beispiele und historische Anmerkungen, sowie die mehr als a hundred Abbildungen machen die Darstellung besonders attraktiv. Diese dritte Auflage wurde vom Autor gründlich überarbeitet und an einigen Stellen erweitert.

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Man zeichne die Punktmengen a) b) c) :lz-11=lz+ll}, ={ZEC :1 o} (Modulfigur). 3. Man beweise und deute a) Ilzl-lwll ~ Iz - wi, b) Iz + wl 2 + Iz - wl 2 = 2 (lzl2 + Iw12) (Parallelogramm-Gesetz). 4. Drei verschiedene Punkte Zl, Z2, Z3 der Gaufischen Zahlenebene liegen genau dann auf einer Geraden, wenn es eine reelle Zahl r gibt mit Z3 - Zl = r(z2 - Zl). 5. Man berechne die Losungen der Gleichung z6 = 1 (6. Einheitswurzein), und zeige, daB sie die Ecken eines regelmiiBigen 6-Ecks bilden.

Fur eine komplexe Folge (an) setzen wir an = a~ + ia~ (a~, a~ E It). Die reeIlen Folgen (a~) und (a~) sind dann ebenfalls beschriinkt. Wir nehmen an, daB durch eine Vorweg-Auswahl einer Teilfolge die Konvergenz der Folge (a~) erreicht wurde. Aus (a~) kann wieder eine konvergente Teilfolge (a~k) ausgewiihlt werden. Damit ist dann (a nk ) eine konvergente Teilfolge von (an). 0 52 5 Folgen Es folgt der noch ausstehende Beweis der 1. Fassung des Satzes fUr eine komplexe beschrankte Folge (an): Nach der 2.

An 11m - = 1; bn n-too in Zeichen: an ~ fiir n -+ bn 00. N ach der Regel Ie) sind asymptotisch gleiche Folgen entweder zugleich konvergent oder zugleich divergent. Asymptotisch gleiche divergente Folgen bilden zum Beispiel an = n 2 und bn = {n + 1)2. An diesen Folgen sieht man auch, daB die Differenz asymptotisch gleicher Folgen sogar unbeschrankt sein kann. Beispiele: 1 1 1 - - -. n n+ 1 1 n2 fiir n -+ 00 . , geht also gegen 1. n 2. v'n + 1 - fo ~ 1 r,;; 2yn fiir n -+ 00. Zum Beweis verwende man die Umformung 1 2 fo .

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